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1. 总体与样本1.1 总体1.2 样本1.2.1 定义1.2.2 分布
2. 统计量及其分布2.1 统计量2.1.1 定义2.1.2 常用统计量2.1.2.1 两类常用统计量2.1.2.2 常用统计量的性质
2.2 三大分布2.2.1
X
2
\mathcal{X}^2
X2分布2.2.2
t
t
t 分布2.2.3
F
F
F 分布
2.3 正态总体下常用结论
1. 总体与样本
1.1 总体
研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体。在对总体进行统计研究时，我们所关心的是表征总体状况的某个（或某几个）数量指标
X
X
X（可以是向量）和该指标在总体中的分布情况。
例如：总体是一批灯泡，
X
X
X 是寿命；总体是某市市民，
X
X
X 是收入 我们把总体与随机变量
X
X
X 等同起来，说 "总体
X
X
X"。所谓总体的分布就是指随机变量
X
X
X 的分布
1.2 样本
1.2.1 定义
n个相互独立且与总体
X
X
X 具有相同概率分布的随机变量
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 所组成的整体
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
)
(X_1,X_2,…,X_n)
(X1,X2,…,Xn) 称为来自总体
X
X
X，容量为
n
n
n 的一个简单随机样本，简称 样本 。样本中的每个随机变量都独立同分布于总体
X
X
X，即
X
i
∼
i
.
i
.
d
X
X_i\stackrel{i.i.d}{\sim}X
Xi∼i.i.dX一次抽样结果的n个具体数值
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
(x_1,x_2,...,x_n)
(x1,x2,...,xn) 称为样本
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 的一个 观测值 或 样本值
1.2.2 分布
对于容量为n的样本
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn，假设总体
X
X
X 的分布函数为
F
(
x
)
F(x)
F(x)，则
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
)
(X_1,X_2,…,X_n)
(X1,X2,…,Xn) 的分布函数为
F
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∏
i
=
1
n
F
(
x
i
)
F(x_1,x_2,...,x_n) = \prod\limits_{i=1}^n F(x_i)
F(x1,x2,...,xn)=i=1∏nF(xi)
若
X
X
X为离散型随机变量，概率分布为
p
i
=
P
(
X
=
x
i
)
p_i = P(X=x_i)
pi=P(X=xi)，联合分布为
P
{
X
1
=
x
1
,
X
2
=
x
2
,
.
.
.
,
X
n
=
x
n
}
=
∏
i
=
1
n
P
{
X
i
=
x
i
}
P\{X_1 = x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n\} = \prod\limits_{i=1}^n P\{X_i=x_i\}
P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}=i=1∏nP{Xi=xi}若
X
X
X为连续型随机变量，概率密度为
f
(
x
)
f(x)
f(x)，联合概率密度为
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∏
i
=
1
n
f
(
x
i
)
f(x_1,x_2,...,x_n) = \prod\limits_{i=1}^n f(x_i)
f(x1,x2,...,xn)=i=1∏nf(xi)
2. 统计量及其分布
2.1 统计量
2.1.1 定义
设
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 为来自总体
X
X
X 的一个样本，
g
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
g(x_1,x_2,...,x_n)
g(x1,x2,...,xn) 为n元函数，如果g中不含任何未知参数，则 称
g
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
g(X_1,X_2,...,X_n)
g(X1,X2,...,Xn) 为样本
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 的一个统计量。若
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
(x_1,x_2,...,x_n)
(x1,x2,...,xn) 为样本值，则称
g
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
g(x_1,x_2,...,x_n)
g(x1,x2,...,xn) 为
g
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
g(X_1,X_2,...,X_n)
g(X1,X2,...,Xn) 的 观测值说明：
直观上，统计量是由统计数据计算得来的量。数学上，统计量是样本
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 的函数，不依赖于任何未知参数作为随机变量的函数，统计量也是随机变量
2.1.2 常用统计量
2.1.2.1 两类常用统计量
数字样本特征：
样本均值：
X
ˉ
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n X_i
Xˉ=n1i=1∑nXi样本方差：
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2
S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2 样本标准差：
S
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum \limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}
S=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
样本k阶（原点）矩：
A
k
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
k
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
)
A_k = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k (k=1,2,...)
Ak=n1i=1∑nXik(k=1,2,...)样本k阶中心矩：
B
k
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
k
(
k
=
2
,
3
,
.
.
.
)
B_k = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k (k=2,3,...)
Bk=n1i=1∑n(Xi−Xˉ)k(k=2,3,...) 顺序统计量：
将样本
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 的n个观测量按其取值从小到大的顺序排列，得
X
(
1
)
≤
X
(
2
)
≤
.
.
.
≤
X
(
n
)
X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq...\leq X_{(n)}
X(1)≤X(2)≤...≤X(n) 随机变量
X
(
k
)
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
X_{(k)}(k=1,2,...,n)
X(k)(k=1,2,...,n) 称作第
k
k
k 顺序统计量，其中
X
(
1
)
X_{(1)}
X(1) 是最小的顺序统计量，而
X
(
n
)
X_{(n)}
X(n) 是最大顺序统计量，即
X
(
1
)
=
m
i
n
{
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
}
X
(
n
)
=
m
a
x
{
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
}
X_{(1)} = min\{X_1,X_2,…,X_n\}\\X_{(n)}=max\{X_1,X_2,…,X_n\}
X(1)=min{X1,X2,…,Xn}X(n)=max{X1,X2,…,Xn}注：
推导1
F
X
(
n
)
(
x
)
=
P
{
X
(
n
)
≤
x
}
=
P
{
m
a
x
{
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
}
≤
x
}
=
P
{
X
1
≤
x
,
.
.
.
,
X
n
≤
x
}
=
P
{
X
1
≤
x
}
.
.
.
P
{
X
n
≤
x
}
=
F
X
1
(
x
)
.
.
.
F
X
n
(
x
)
=
[
F
(
x
)
]
n
f
X
(
n
)
(
x
)
=
F
X
(
n
)
′
(
x
)
=
n
[
F
(
x
)
]
n
−
1
f
(
x
)
\begin{aligned} F_{X(n)}(x) &= P\{X_{(n)} \leq x\} \\ &= P\{max\{X_1,X_2,…,X_n\} \leq x\} \\ &= P\{X_1 \leq x,...,X_n \leq x\} \\ &= P\{X_1 \leq x\}...P\{X_n \leq x\} \\ &= F_{X_1}(x)...F_{X_n}(x) \\ &= [F(x)]^n\\ f_{X(n)}(x) &= F_{X(n)}^{'}(x) \\ &= n[F(x)]^{n-1} f(x) \\ \end{aligned}
FX(n)(x)fX(n)(x)=P{X(n)≤x}=P{max{X1,X2,…,Xn}≤x}=P{X1≤x,...,Xn≤x}=P{X1≤x}...P{Xn≤x}=FX1(x)...FXn(x)=[F(x)]n=FX(n)′(x)=n[F(x)]n−1f(x)推导2
F
X
(
1
)
(
x
)
=
P
{
X
(
1
)
≤
x
}
=
P
{
m
i
n
{
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
}
≤
x
}
=
1
−
P
{
m
i
n
{
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
}
>
x
}
=
1
−
P
{
X
1
>
x
,
.
.
.
,
X
n
>
x
}
=
1
−
P
{
X
1
>
x
}
.
.
.
P
{
X
n
>
x
}
=
1
−
[
1
−
P
{
X
1
≤
x
}
]
.
.
.
[
1
−
P
{
X
n
≤
x
}
]
=
1
−
[
1
−
F
X
1
(
x
)
]
.
.
.
[
1
−
F
X
n
(
x
)
]
=
1
−
[
1
−
F
(
x
)
]
n
f
X
(
1
)
(
x
)
=
F
X
(
1
)
′
(
x
)
=
n
[
1
−
F
(
x
)
]
n
−
1
f
(
x
)
\begin{aligned} F_{X(1)}(x) &= P\{X_{(1)} \leq x\} \\ &= P\{min\{X_1,X_2,…,X_n\} \leq x\} \\ &= 1 - P\{min\{X_1,X_2,…,X_n\} > x\} \\ &= 1 - P\{X_1 > x,...,X_n > x\} \\ &= 1 - P\{X_1 > x\}...P\{X_n > x\} \\ &= 1 - [1-P\{X_1 \leq x\}]...[1-P\{X_n \leq x\}] \\ &= 1 - [1-F_{X_1}(x)]...[1-F_{X_n}(x)]\\ &= 1 - [1-F(x)]^n\\ f_{X(1)}(x) &= F_{X(1)}^{'}(x) \\ &= n[1-F(x)]^{n-1} f(x) \\ \end{aligned}
FX(1)(x)fX(1)(x)=P{X(1)≤x}=P{min{X1,X2,…,Xn}≤x}=1−P{min{X1,X2,…,Xn}>x}=1−P{X1>x,...,Xn>x}=1−P{X1>x}...P{Xn>x}=1−[1−P{X1≤x}]...[1−P{Xn≤x}]=1−[1−FX1(x)]...[1−FXn(x)]=1−[1−F(x)]n=FX(1)′(x)=n[1−F(x)]n−1f(x) 说明：
样本均值就是样本的一阶原点矩样本方差不是二阶中心距。和期望不同，虽然算方差时也有n个元素求和，但系数不是
1
n
\frac{1}{n}
n1 而是
1
n
−
1
\frac{1}{n-1}
n−11，这样调整是为了估计的无偏性
2.1.2.2 常用统计量的性质
设总体
X
X
X 的期望
E
X
=
μ
EX=\mu
EX=μ，方差
D
X
=
σ
2
DX = \sigma^2
DX=σ2 ，
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,…,X_n
X1,X2,…,Xn 是取自总体
X
X
X ，容量为
n
n
n 的一个样本，
X
ˉ
,
S
2
\bar{X},S^2
Xˉ,S2 分别为样本均值和方差，则
E
X
i
=
μ
EX_i =\mu
EXi=μ
D
X
i
=
σ
2
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
DX_i = \sigma^2(i=1,2,...,n)
DXi=σ2(i=1,2,...,n)
E
X
ˉ
=
E
(
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
)
=
1
n
n
μ
=
μ
E\bar{X} = E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n}n\mu = \mu
EXˉ=E(n1i=1∑nXi)=n1nμ=μ
D
X
ˉ
=
D
(
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
)
=
1
n
2
n
σ
2
=
σ
2
n
D\bar{X} = D(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}
DXˉ=D(n1i=1∑nXi)=n21nσ2=nσ2
E
(
S
2
)
=
D
X
=
σ
2
E(S^2)=DX=\sigma^2
E(S2)=DX=σ2 说明
由于
X
i
X_i
Xi 独立同分布，每个样本的期望和方差都与总体相同，其波动中心一致，因此均值的期望不变；波动程度相当于做了均值滤波减小了，因此方差为原先的
1
n
\frac{1}{n}
n1样本方差
S
2
S^2
S2 系数是
1
n
−
1
\frac{1}{n-1}
n−11 的原因就是为了使
E
(
S
2
)
E(S^2)
E(S2) 为无偏估计
σ
2
\sigma^2
σ2，分析如下
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
2
−
2
X
i
X
ˉ
+
X
ˉ
2
)
=
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
X
i
2
−
2
X
ˉ
∑
i
=
1
n
X
i
+
n
X
ˉ
2
)
=
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
X
i
2
−
n
X
ˉ
2
)
E
S
2
=
1
n
−
1
E
(
∑
i
=
1
n
X
i
2
−
n
X
ˉ
)
=
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
E
X
i
2
−
n
E
X
ˉ
2
)
=
1
n
−
1
[
n
(
(
E
X
i
)
2
+
D
X
i
−
(
E
X
ˉ
)
2
−
D
X
ˉ
)
]
=
1
n
−
1
[
n
(
μ
2
+
σ
2
−
μ
2
−
σ
2
n
)
]
=
σ
2
\begin{aligned} S^2 &= \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 \\ &= \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n(X_i^2-2X_i\bar{X}+ \bar{X}^2) \\ &= \frac{1}{n-1} (\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar{X}\sum_{i=1}^nX_i+n\bar{X}^2)\\ &= \frac{1}{n-1} (\sum_{i=1}^nX_i^2-n\bar{X}^2)\\ ES^2 &= \frac{1}{n-1} E(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-n\bar{X}) \\ &= \frac{1}{n-1} (\sum_{i=1}^nEX_i^2 - nE\bar{X}^2) \\ &= \frac{1}{n-1} [n((EX_i)^2+DX_i - (E\bar{X})^2-D\bar{X})]\\ &= \frac{1}{n-1} [n(\mu^2+\sigma^2-\mu^2-\frac{\sigma^2}{n})]\\ &= \sigma^2 \end{aligned}
S2ES2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2=n−11i=1∑n(Xi2−2XiXˉ+Xˉ2)=n−11(i=1∑nXi2−2Xˉi=1∑nXi+nXˉ2)=n−11(i=1∑nXi2−nXˉ2)=n−11E(i=1∑nXi2−nXˉ)=n−11(i=1∑nEXi2−nEXˉ2)=n−11[n((EXi)2+DXi−(EXˉ)2−DXˉ)]=n−11[n(μ2+σ2−μ2−nσ2)]=σ2
2.2 三大分布
X
2
\mathcal{X}^2
X2 分布、
t
t
t 分布、
F
F
F 分布是统计推断中最常用的抽样分布。不必记忆三种分布的概率密度，只需了解相应变量的典型模式，以及它们的分布曲线的示意图和分位数，会查相应分位数的数值表即可分布名下标表示 “上分位点”
2.2.1
X
2
\mathcal{X}^2
X2分布
典型模式
若随机变量
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
X_1,X_2,...,X_n
X1,X2,...,Xn 相互独立，且都服从标准正态分布（即
X
i
∼
i
.
i
.
d
N
(
0
,
1
)
X_i\stackrel{i.i.d}{\sim} N(0,1)
Xi∼i.i.dN(0,1) ），则随机变量
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
2
X = \sum\limits_{i=1}^nX_i^2
X=i=1∑nXi2 服从 自由度 为
n
n
n 的
X
2
\mathcal{X}^2
X2分布，记为
X
∼
X
2
(
n
)
X \sim \mathcal{X}^2(n)
X∼X2(n)。特别地，
X
i
2
∼
X
2
(
1
)
X_i^2 \sim \mathcal{X}^2(1)
Xi2∼X2(1)
X
X
X 的概率密度
f
(
x
)
f(x)
f(x) 如下所示 对给定的
α
(
0
<
α
<
1
)
\alpha(0<\alpha<1)
α(0<α<1)，称满足
P
(
X
2
>
X
α
2
(
n
)
)
=
∫
X
α
2
(
n
)
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
α
P(\mathcal{X^2}>\mathcal{X_{\alpha}^2(n)}) = \int_{X_{\alpha}^2(n)}^{+\infin} f(x)dx = \alpha
P(X2>Xα2(n))=∫Xα2(n)+∞f(x)dx=α 的
X
α
2
(
n
)
X_{\alpha}^2(n)
Xα2(n) 为
X
2
(
n
)
X^2(n)
X2(n) 分布的上
α
\alpha
α 分位点，如下所示 对于不同的
α
\alpha
α 和 n，
X
2
(
n
)
X^2(n)
X2(n) 分布的上
α
\alpha
α 分位点可以通过查表求得说明：
自由度是指和式中独立变量个数上
α
\alpha
α 分位点为
μ
α
\mu_{\alpha}
μα 意指：点
μ
α
\mu_{\alpha}
μα 右侧，概率密度曲线
f
(
x
)
f(x)
f(x) 下方与x轴围成的面积为
α
\alpha
α 性质
分布可加性：若
X
1
∼
X
2
(
n
1
)
X_1 \sim \mathcal{X}^2(n_1)
X1∼X2(n1)，
X
2
∼
X
2
(
n
2
)
X_2 \sim \mathcal{X}^2(n_2)
X2∼X2(n2)，
X
1
X_1
X1 与
X
2
X_2
X2 相互独立，则
X
1
+
X
2
∼
X
2
(
n
1
+
n
2
)
X_1+X_2 \sim \mathcal{X}^2(n_1+n_2)
X1+X2∼X2(n1+n2)。一般地，若
X
i
∼
X
2
(
n
i
)
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
)
X_i \sim \mathcal{X}^2(n_i)(i=1,2,...,m)
Xi∼X2(ni)(i=1,2,...,m) ，
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
m
X_1,X_2,...,X_m
X1,X2,...,Xm 相互独立，则
∑
i
=
1
m
X
i
∼
X
2
(
∑
i
=
1
m
n
i
)
\sum\limits_{i=1}^mX_i \sim \mathcal{X}^2(\sum\limits_{i=1}^mn_i)
i=1∑mXi∼X2(i=1∑mni)
X
∼
X
2
(
n
)
X \sim \mathcal{X}^2(n)
X∼X2(n)，则
E
X
=
n
,
D
X
=
2
n
EX = n,DX=2n
EX=n,DX=2n
2.2.2
t
t
t 分布
典型模式
设随机变量
X
∼
N
(
0
,
1
)
,
Y
∼
X
2
(
n
)
X \sim N(0,1), Y\sim \mathcal{X}^2(n)
X∼N(0,1),Y∼X2(n)，
X
X
X 与
Y
Y
Y 相互独立，则随机变量
t
=
X
Y
n
t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}
t=nY
X 服从自由度为
n
n
n 的
t
t
t 分布，记为
t
∼
t
(
n
)
t\sim t(n)
t∼t(n)
t
t
t 分布的概率密度
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的图形关于
x
=
0
x=0
x=0 对称，因此
E
t
=
0
(
n
≥
2
)
E_t=0(n\geq2)
Et=0(n≥2) 性质
由
t
t
t 分布概率密度
f
(
x
)
f(x)
f(x) 图像对称性，有
P
{
t
>
−
t
α
(
n
)
}
=
P
{
t
>
t
1
−
α
(
n
)
}
P\{t>-t_{\alpha}(n)\} = P\{t>t_{1-\alpha}(n)\}
P{t>−tα(n)}=P{t>t1−α(n)}，故
t
1
−
α
(
n
)
=
−
t
α
(
n
)
t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)
t1−α(n)=−tα(n)
t
∼
t
(
n
)
t \sim t(n)
t∼t(n)，则
E
t
=
0
Et = 0
Et=0
2.2.3
F
F
F 分布
典型模式
设随机变量
X
∼
X
2
(
n
1
)
,
Y
∼
X
2
(
n
2
)
X \sim \mathcal{X}^2(n_1),Y\sim \mathcal{X}^2(n_2)
X∼X2(n1),Y∼X2(n2)，且
X
X
X 与
Y
Y
Y 相互独立，则
F
=
X
/
n
1
Y
/
n
2
F = \frac{X/n_1}{Y/n_2}
F=Y/n2X/n1 服从自由度为
(
n
1
,
n
2
)
(n_1,n_2)
(n1,n2) 的
F
F
F 分布，记为
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
F \sim F(n_1,n_2)
F∼F(n1,n2)，其中
n
1
n_1
n1 称为第一自由度，
n
2
n_2
n2 称为第二自由度
F
F
F 分布的概率密度函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 如图所示 性质
若
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
F\sim F(n_1,n_2)
F∼F(n1,n2)，则
1
F
∼
F
(
n
2
,
n
1
)
\frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1)
F1∼F(n2,n1)
F
1
−
α
(
n
1
,
n
2
)
=
1
F
α
(
n
2
,
n
1
)
F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)}
F1−α(n1,n2)=Fα(n2,n1)1，证明如下
记
F
∼
F
(
n
2
,
n
1
)
P
{
F
>
F
α
(
n
2
,
n
1
)
}
=
α
,
P
{
F
≤
F
α
(
n
2
,
n
1
)
}
=
1
−
α
,
P
{
1
F
≥
1
F
α
(
n
2
,
n
1
)
}
=
1
−
α
令
T
=
1
F
,
则
T
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
有
P
{
T
≥
F
1
−
α
(
n
1
,
n
2
)
}
=
1
−
α
故
F
1
−
α
(
n
1
,
n
2
)
=
1
F
α
(
n
2
,
n
1
)
\begin{aligned} &记 F\sim F(n_2,n_1) \\ &P\{F>F_\alpha(n_2,n_1)\} = \alpha,\\ &P\{F\leq F_\alpha(n_2,n_1)\} = 1-\alpha,\\ &P\{\frac{1}{F} \geq \frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}\}=1-\alpha\\ &令 T= \frac{1}{F},则T\sim F(n_1,n_2)\\ &有P\{T\geq F_{1-\alpha}(n_1,n_2)\}=1-\alpha\\ &故F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)} \end{aligned}
记F∼F(n2,n1)P{F>Fα(n2,n1)}=α,P{F≤Fα(n2,n1)}=1−α,P{F1≥Fα(n2,n1)1}=1−α令T=F1,则T∼F(n1,n2)有P{T≥F1−α(n1,n2)}=1−α故F1−α(n1,n2)=Fα(n2,n1)1
2.3 正态总体下常用结论
设
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
X_1,X_2,...,X_n
X1,X2,...,Xn 是来自正态总体
N
(
μ
,
σ
2
)
N(\mu,\sigma^2)
N(μ,σ2) 的一个样本，
X
ˉ
、
S
2
\bar{X}、S^2
Xˉ、S2 分布是样本均值和方差，则
X
ˉ
∼
N
(
μ
,
σ
2
n
)
\bar{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})
Xˉ∼N(μ,nσ2)，即
X
ˉ
−
μ
σ
n
=
n
(
X
ˉ
−
μ
)
σ
∼
N
(
0
,
1
)
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)
n
σXˉ−μ=σn
(Xˉ−μ)∼N(0,1)
联
合
正
态
分
布
性
质
：
若
(
X
,
Y
)
∼
N
(
μ
1
,
μ
2
;
σ
1
2
,
σ
2
2
,
;
ρ
)
,
则
X
和
Y
的
线
性
组
合
a
X
+
b
Y
(
a
≠
0
或
b
≠
0
)
服
从
正
态
分
布
这
里
X
ˉ
即
为
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
的
线
性
组
合
，
因
此
服
从
正
态
分
布
\begin{aligned} &联合正态分布性质：若(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2,;\rho), \\ & 则X和Y的线性组合aX+bY(a \neq 0 或 b\neq0)服从正态分布\\ &这里\bar{X} 即为X_1,X_2,...,X_n的线性组合，因此服从正态分布 \end{aligned}
联合正态分布性质：若(X,Y)∼N(μ1,μ2;σ12,σ22,;ρ),则X和Y的线性组合aX+bY(a=0或b=0)服从正态分布这里Xˉ即为X1,X2,...,Xn的线性组合，因此服从正态分布
1
σ
2
∑
i
+
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
∼
X
2
(
n
)
\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i+1}^n(X_i-\mu)^2\sim\mathcal{X}^2(n)
σ21i+1∑n(Xi−μ)2∼X2(n)
因
为
X
i
∼
i
.
i
.
d
N
(
μ
,
σ
2
)
标
准
化
有
X
i
−
μ
σ
∼
N
(
0
,
1
)
根
据
X
2
分
布
定
义
,
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
σ
)
2
∼
X
2
(
n
)
\begin{aligned} &因为 X_i\stackrel{i.i.d}{\sim} N(\mu,\sigma^2)\\ &标准化有\frac{X_i-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) \\ &根据\mathcal{X}^2分布定义,\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2\sim\mathcal{X}^2(n) \end{aligned}
因为Xi∼i.i.dN(μ,σ2)标准化有σXi−μ∼N(0,1)根据X2分布定义,i=1∑n(σXi−μ)2∼X2(n)
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
σ
)
2
∼
X
2
(
n
−
1
)
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma})^2\sim\mathcal{X}^2(n-1)
σ2(n−1)S2=i=1∑n(σXi−Xˉ)2∼X2(n−1)，(
μ
\mu
μ未知时，在(2)中用
X
ˉ
\bar{X}
Xˉ代替
μ
\mu
μ)
欲使用公式 (2) 而期望
μ
\mu
μ 未知时，使用均值
X
ˉ
\bar{X}
Xˉ 代替期望
μ
\mu
μ这个证明困难，只要知道结论即可。直观上理解，由于
X
ˉ
\bar{X}
Xˉ 中各随机变量
X
i
X_i
Xi 相互纠缠，分布自由度相比 (2) 中减少1
X
ˉ
\bar{X}
Xˉ 与
S
2
S^2
S2 相互独立，
n
(
X
ˉ
−
μ
)
S
∼
t
(
n
−
1
)
\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)
Sn
(Xˉ−μ)∼t(n−1) ，进一步有
n
(
X
ˉ
−
μ
)
2
S
2
∼
F
(
1
,
n
−
1
)
\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{S^2}\sim F(1,n-1)
S2n(Xˉ−μ)2∼F(1,n−1)
欲使用公式 (1) 而标准差
σ
\sigma
σ 未知时，用样本标准差
S
S
S 替代标准差
σ
\sigma
σ证明如下
已
知
X
ˉ
−
μ
σ
/
n
∼
N
(
0
,
1
)
已
知
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
∼
X
2
(
n
−
1
)
根
据
t
分
布
定
义
，
有
X
ˉ
−
μ
σ
/
n
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
/
(
n
−
1
)
∼
t
(
n
−
1
)
整
理
得
n
(
X
ˉ
−
μ
)
S
∼
t
(
n
−
1
)
\begin{aligned} &已知\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \\ & 已知\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\mathcal{X}^2(n-1) \\ & 根据t分布定义，有 \frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/(n-1)}} \sim t(n-1) \\ & 整理得\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1) \end{aligned}
已知σ/n
Xˉ−μ∼N(0,1)已知σ2(n−1)S2∼X2(n−1)根据t分布定义，有σ2(n−1)S2/(n−1)
σ/n
Xˉ−μ∼t(n−1)整理得Sn
(Xˉ−μ)∼t(n−1) 这些结论在进行 参数区间估计 和 假设检验 时非常有用，结论1/4常用于估计
μ
\mu
μ，结论2/3常用于估计
σ
\sigma
σ，具体见下一篇文章